Автореферат диссертации по теме "Математические модели в трассировании железных дорог"
РГб од МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ о • , МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
» . : 5 1
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
На правах рукописи
ПОНАРИН АНАТОЛИЙ СЕМЕНОВИЧ
УДК 625.111:519.2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТРАССИРОВАНИИ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ
Специальность 05.22.03 - Изыскания и проектирование железных дорог
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
МОСКВА 1995
Работа выполнена на кафедре пути и железнодорожного строительства Уральской государственной академии путей сообщения.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Гавриленков Александр Валентинович; доктор технических наук, профессор Гривдк Валерий МваноЕич; доктор технических наук, профессор Воронин Михаил Иванович.
Ведущее' предприятие: Уралгипротранс
Защита состоится 21 июня 1995 года б 15 часов 00 мин. на заседании диссертационного Совета Д 1*14.15.03 при Московском государственном университете путей сообщения (ШИТ) по адресу: Москва, ул.Образцова, 15, ауд. 1329.
С диссертацией можно познакомиться в библиотеке МИИТ.
Автореферат разослан 19 мая 1995 г.
Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба направлять по адресу Совета МИИТ: 101475, ГСП, Москва, ул.Образцова, 15, МИИТ, ' Ученый Совет.
Ученый секретарь диссертационного совета профессор
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Повышение эффективности работы железных дорог связано с дальнейшим развитием сети, в том числе в регионах с суровым климатом, сложным рельефом, проектированием и строительством скоростных линий, вторых путей.
В этих условиях разработка и применение научно обоснованных методов расчета и проектирования трассы, ориентированных на применение математических моделей и современных персональных компьютеров, сможет помочь надежному выбору эффективных вариантов трассы, снизить затраты, на проектирование и строительство желе.зных дорог. Таким образом решение проблемы формирования математических моделей в трассировании железных дорог является актуальной задачей.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является исследование структуры подсистем железкой дороги и проектных организаций, природных условий и проектно-изыскательских процессов, способов и приемов моделирования и получения эффективных математических моделей для реализации в системах автоматизированного проектирования.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использованы методы системотехники, системного анализа, метод ассоциаций при выдвижении гипотез и предположений, дедуктивный и индуктивный методы при анализе экономических моделей и процессов. В работе используются также математические методы поиска оптимальных решений и методы вычислительного эксперимента на ЭВМ.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации решалась проблема формирования математических моделей трассирования железных дорог. При решения проблемы получен ряд теоретических и практических результатов. Автором впервые выполнена системная идентификация трассы и путевых сооружений, а также детальная декомпозиция системы проектирования железных дорог и операционное описание процессов и методов "ручно-
го" трассирования. Это выявило правила и приемы, которые при соответствующей модификации можно использовать б автоматизированном трассировании.
Новым является применение в трассировании кубических сплайн-функций, в том числе:
1) В описании рельефа использован дважды кубический сплайн: его эффективность выявлена в сравнении с другими моделями. На основе сплайновой модели рельефа разработана .методика оценки адекватности модели, идентификации категории сложности рельефа, поиска характерных точек и трассирования характерных линий рельефа.
Сплайновая модель рельефа эффективно используется г
- при полуавтоматической этапной укладке плана трассы и получении продольного профиля земли;
- при построении линии нулевых работ на напряженном ходу с использованием шага-вектора и численных методов поиска нуля;
- при построении ломаной трассы на вольном ходу путем сгущения трехзвенной модели и-использования характерных линий рельефа;
- при автоматическом построении продольного профиля земли по фиксированному плану.
2) Одномерная сплайновая модель использована:
- для эффективной аппроксимации линии нулевых работ и магистрального хода параметрическим сплайном, а затем допустимым планом трассы (.сочетанием прямых и кривых, соответствующим СНиП);
- для аппроксимации продольного профиля земли с целью быстрой укладки исходного проектного продольного профиля;
- для аппроксимации тяговой характеристики локомотива и других эмпирических дискретно-точечных функций.
Автором впервые реализованы в решении задачи оптимального проектирования железных дорог ускоренные методы поиска минимума:
- метод сгущения трехзвенной модели проектного профиля, аналогом которого является метод бегущей волны;
- модификация метода двумерного наискорейшего спуска с использованием параболической интерполяции и экстраполяции.
Разработана система автоматизированного выбора типа и индивидуального проектирования поперечного профиля земляного полотна.
Впервые использованы новые приемы и формулы для расчета объемов земляного полотна, строительной стоимости с расчетом дополнительных затрат на основе выведенных автором коэффициентов, тяговых расчетов с использованием численного интегрирования уравнения движения поезда методом Эйлера-Коши.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные в диссертации модели и методы представляют собой теоретические основы разработки и совершенствования локальных систем автоматизированного проектирования. Подготовлен и отлажен пакет прикладных программ по трассированию железнодорожных линий. Результаты исследований в виде алгоритмов и программ использованы при решении различных проектных, научно-исследовательских и эксплуатационных задач.
РЕАЛИЗАЦИЯ И АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследований реализованы:
В научно-исследовательских работах по темам:
1. Целевые комплексные программы МПС повышения скоростей движения грузовых и пассажирских поездов "Ускорение" и "Скорость" (Основание: Постановление ЦК КПСС и СМ СССР от 29.05.86 г. и Указание МПС # 434-у).
2. Разработка и ввод в эксплуатацию пакета прикладных программ для решения на ЭВМ оптимизационных программ строительства дорог (Тема * 0.80.01.05.09.п, Институт кибернетики им. В.М.Глуш-кова Академии наук УССР, 1990 г.).
3. Разработка методики принятия решений при проектировании железных дорог в условиях- нечеткой информации (Тема ШШ-ПП-101/1, УЗМИИТ, 1985-1990гг.) и б других научно-исследовательских работах.
Б проектно-изыскательских организациях железнодорожного транспорта и транспортного строительства.
Ряд положений диссертации получил внедрение в учебном процессе: деловая игра "Оптима", методические указания "Оптимизация продольного профиля на основе математических методов и ЭВМ", "Применение ЭВМ при выполнении тяговых расчетов", лабораторные работы по АСУ и САПР на кафедре пути и железнодорожного строительства УГАПС.
Отдельные положении диссертации докладывались и получили положительную оценку на конференции по проблемам проектирования, строительства и эксплуатации БАМ в ЛИИЖТе (1978 г.), на всесоюзной научно-технической конференции по проблемам БАМ в СибЦНИИСе (1983 г.), на научно-технических конференциях НТО Свердловской железной дороги и УЭММИТ (1967-1995 гг), на заседании Ученого совета строительного факультета УЭМИИТ в 1991 г., во ВНИИЖТ (1989г), на научно-технических конференциях ВНИИЖТ, (Уральское отделение, 1980-1983 г.).
На основе разработанных в диссертации методов и моделей были составлены "Методические указания по математическому моделированию в локальных САПР грассы железных дорог".
ПУБЛИКАЦИИ. Основные положения диссертации опубликованы в 24 печатных работах общим объемом 16 п.л.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Общий объем работы составляет 434 страницы, включая 315 страниц текста, 57 рисунков, 11 таблиц и 61 приложений. Список использованной литературы содержит 175 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении характеризуется объект изучения, формулируется задача исследования, приводятся работы, под влиянием и на основе которых формировалась диссертационная работа.
При разработке системной модели некоторые идеи диссертации развивались с учетом работ С.Л.Оптнера, Р.Гуда и В.Макола, В.М.Глу-шкова, Б.Я.Советова и С.А.Яковлева.
В основу развитых в работе методов моделирования и оптимизации положены труды В.И.Скурихина, Д.Алберга, Э.Нильсона и Д.Уолша, Б.С.Стечкина, Ю.С.Субботина, Ю.В.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко, Е.С.Вентцель, Р.М.ФеДоренко, Ф.Гилла, Ч.Мюррея, М.Райт.
Модели процессов проектирования с учетом надежности разрабатывались на основе работ по теории надежности И.Базовского, Л.С.Ави-рома, И.И.Болотина, И.М.Соболя, Н.П.Бусленко и др.
В основу изложенных в диссертации алгоритмов реализации математических методов и моделей положены труды Р.Куранта, Г.Б.Двайта, Н.С.Бахвалова, Г.Корна и Т.Корн, Т.Нейлора, Н.Я.Виленкина.
На решения некоторых задач, изложенных в диссертации, натолкнули автора исследования в области вычислительной геометрии М.Д.Принса, И.И.Котова, С.С.Полозова и Л.В.Широковой, А.Фокса и М.Пратта, Б.Банди, К.Де Бора, А.К.Дюнина и др.
Материал для сравнения и оценки математических моделей различных поверхностей и рельефа местности был почерпнут автором в работах С.В.Абломейко, А.М.Волкова, Н.Н.Евсюкова и Е.М.Бороденко, Ю.С.Завьялова, В.А.Леуса и В.А.Скороспелова, Г.М.Кашина, Г.И.Пшени-чнова и Ю.А.Флерова, Ю.А.Кравченко, В.В.Космина, Б.К.Малявского и Г.Я.Петлюка, К.Л.Проворова и А.М.Иванова, P.M.Рудого, С.Н.Сербенюка и О.Р.Мусина, М.А.Быкова и О.Б.Певуновой и др.
Многие задачи и проблемы удалось решить благодаря большому
вкладу многих представителей транспортной науки, работавших в различных направлениях, в том числе:
Общие вопросы проектирования железных дорог: А.В.Горинов,
A.И.Иоаннисян, А.П.Кондратченко, А.Е.Гибшман, И.В.Турбин, А.В.Гав-рилекков, И.И.Кантор, Г.С.Переселенков, Б.А.Волков и А.Д.Ларионов.
Методы автоматизированного проектирования: И.В.Турбин, Г.Л.Ак-керман, Ю.К.Полосин, В.П.Житкевич, ,В.А.Анисимов, В.С.Миронов,
B.С.Михалевич, Р.В.Зайцев, А.Н.Сибирко,В.И.Струченков, А.И.Скутлн,. Б.К.Малявский, В.Н.Ляховский, Н.Е.Коновалов и В.ГКГуленко.
Цифровые и математические модели рельефа: И.В.Турбин, М.М.Протодьяконов, Н.Е.Коновалов, Г.Л.Аккерман, В.П.Житкевич, В,А.Анисимов, И.П.Корженевич, А.В.Соколов, С.й.Мурашкина, П.В.Петров, В.Ф.Райфельд, А.И.Скутин, В.И.Струченков и Д.М.Шейдвассер и др.
Оптимизация продольного профиля и трассы: И.В.Турбин, В.С.Михалевич, Р.В.Зайцев, А.Н.Сибирко, Н.З.Шор, В.Н.Ляховский, Н.М.Бере-стовенко, А.М.Кизь, Б.К.Малявский, В.И.Струченков, В.А.Бучкин, Б.А.Волков, Г.Н.Ващенко, И.П.Корженевич, А.И.Богданов, Г.С.Переселенков.
Большой вклад в теорию и практику моделирования проектных процессов внесли проектные институты: Мосгипротранс, Ленгипротранс, Уралгипротранс, Томгипротранс, Дальгипротранс и другие организации.
Глава 1. Системный.анализ комплексной проблемы проектирования трассы железной дороги.
В комплексе рассматриваются параллельные . подсистемы: путевые сооружения, линейные, сооружения прочих хозяйств, станции и узлы.
Трасса является отображением физической подсистемы - путевых сооружений, работающих совместно с поездами, станциями и узлами и подсистемой движения поездов. В структурном аспекте трасса железной дороги как геометрическая подсистема подразделяется на план, про-
дольный профиль, поперечные профили пути. В физическом порядке трасса подразделяется на сооружения верхнего и нижнего строения пути, линии электропередач, автоблокировки, связи.
Через верхнее и нижнее строение пути трасса взаимодействует с окружающей средой посредством нагрузок и воздействий.
В работе определены параметры подсистемы трассы железной дороги: цели, входы, выходы, процесс, ограничения, внешнее управление, окружающая среда.
Основной целью подсистемы трассы железной дороги является обеспечение движения грузовых и пассажирских поездов определенного веса с установленными скоростями движения. Дополнительными целями являются создание условий для развития района тяготения, обеспечение заданного объема погрузки и выгрузки и др.
Входами в подсистему трассы железной дороги являются грузовые и пассажирские поезда, их статическое и динамическое воздействие, информация об их продвижении, а также физическое и энергетическое воздействие окружающей среды.
Выходами из подсистемы трассы железной дороги будут статическое и динамическое воздействие земляного полотна на основание, изменение гидрологических характеристик зарегулированных русел постоянных водотоков, механическое перемещение масс балласта и грунта земляного полотна, блуждающие электрические токи в грунте, физическое, и энергетическое воздействие на окружающую среду.
Процессами в подсистеме трассы железной дороги являются:
- механическая передача статических и динамических воздействий от подвижного состава на верхнее и нижнее строение пути;
- процессы изменения размеров верхнего строения пути, угон рельсов, механическая деформация земляного полотна;
- теплофизические процессы передачи тепла внутри верхнего
строения пути, земляного полотна и искусственных сооружений;
- структурно-физические процессы обводнения и осушения, замерзания и оттаивания, упрочнения и разупрочнения, изменения фильтрационных свойств балласта и грунта земляного полотна;
- произрастание травяного покрова, кустарников и деревьев;
- передача электрического тока;
- передача сигналов по линиям связи и блокировки.
Ограничениями являются ширина колеи, допускаемая скорость движения, нагрузка на ось, габариты приближения строений и подвижного состава.
Внешнее управление заключается в информационном влиянии на деятельность подсистемы трассы железной дороги вышестоящих подсистем посредством графика движения, в регулировании подачи электроэнергии, назначения ремонтных и строительных работ и др.
Самоуправление подсистемы трассы железной дороги состоит в регулярном сравнении показателей технического состояния и характеристик выхода с нормативными моделями и последующем ремонте всех сооружений трассы железной дороги или изменения параметров процесса вплоть до временного прекращения движения поездов.
Окружающей средой следует считать пространство, существенно влияющее на функционирование подсистемы трассы железной дороги. Сюда можно отнести полосу отвода, бассейны водосбора, атмосферу, зону хозяйственного освоения районов, зону геологического влияния.
Анализ подсистемы трассы железной дороги позволяет целенаправленно перейти к исследованию условий проектирования, строительства и функционирования подсистемы трассы железной дороги, которые характеризуются пространством факторов различного происхождения. Автором разработана классификация влияющих факторов по принципу отношения к деятельности человека.
1. Первичные факторы - существовавшие до проектирования;
2. Классификационные факторы - зависящие от назначения линии;
3. Вариантные факторы - выбираемые при проектировании земляного полотна, искусственных и прочих перегонных сооружений;
4. Технологические факторы - учитываемые или оптимизируемые при проектировании;
5. Эксплуатационные факторы - прогнозируемые характеристики условий эксплуатации.
В диссертации анализируется структура комплекса проектирования трассы железной дороги.
Проектная организация характеризуется как большая система со стохастическими входами и выходами, наличием самоуправления, экономической и правовой самостоятельностью.
Системный процесс заключается в переработке поступившей информации в проектные материалы с использованием интеллектуальных и физических возможностей коллектива сотрудников и разнообразных технических средств, материальных и информационных ресурсов.
Общесистемная обратная связь заключается в контроле качества проекта и выдаче необходимых дадных для коррекции входной информации, назначения средств и способов изучения района проектирования.
Внешнее управление осуществляется с помощью заказов предприятий и организаций, физических лиц, влияния рынка, территориальной администрации, органов управления объединений, ассоциаций.
Ограничения представляют собой комплекс регламентирующих законов, подзаконных актов, норм, правил, стандартов и др.
Окружающей средой являются заказчики, согласующие инстанции, поставщики, подрядчики, субподрядчики и др.
Внутренняя структура представляет собой дерево, состоящее из проектно-изыскательских, функциональных и управляющей подсистем.
-1 л - -
Исследованы связи между подсистемами и элементами, процессы согласования и принятия проектных решений на различных стадиях.
Отмечается, что многоступенчатая процедура прохождения и согласования решений замедляет работу и ведет к излишнему расходованию Бремени, человеческого труда и материальных ресурсов. В редких случаях при принятии решений присутствует оптимизация. Оценка качества плана, профиля и поперечных профилей земляного полотна чаще всего эвристическая, базируется на опыте и интуиции.
Технология проектирования состоит из камерального и полевого трассирования, составления проекта и рабочей документации.
Автором выполнен операционный анализ трассирования и обратной связи по нему. Отмечено что "ручные" методы трассирования требуют Большой затраты труда высококвалифицированных специалистов (кроме изыскательских работ) для выполнения преимущественно однообразных массовых рутинных операций.
Операционное описание задач как при камеральном трассировании, так и при трассировании по натурным планам, показало, что трассирование является цепью циклических и нециклических операций, при этом сочетаются графические и расчетные работы на основе глубокого разделения труда, требующего постоянной обратной связи.
Выявлены достоинства и недостатки существующей практической системы трассирования железной дороги и пути их преодоления.
Формализация процессов проектирования состоит в разумном сочетании двух направлений:
1. Использование в системах автоматизированного проектирования рациональных приемов и правил трассирования, разработанных и накопленных проектировщиками. При этом следует избегать выделения расчетных работ в отдельный автономный процесс, так как при этом качество проектных решений с применением ЭВМ ухудшается ввиду отрыва ме-
годов расчетов от проектирования в целом.
2. Построение взаимосвязанных математических моделей объектов проектирования, методов проектирования и проектных ситуаций на той или иной стадии. Проектирование в этом случае должно вестись в итерационном цикле на основе развивающейся модели проекта.
Сочетание отмеченных двух направлений наиболее целесообразно осуществлять в локальных системах автоматизированного проектирования, то-есть при пользовании персональными компьютерами большой мощности с соответствующим периферийным оборудованием непосредственно на рабочих местах высококвалифицированных проектировщиков. При этом процесс подготовки проектного решения осуществляется на ЭВМ от ввода исходных данных до получения промежуточных и окончательных проектных материалов на стандартных носителях с непосредственным участием проектировщика в процессе принятия решения. Для этого проектировщику должны быть понятны модели и методы, используемые в проектировании, а сами модели и методы должны работать быстро и эффективно. Автоматизированным трассированием следует считать процесс проектирования трассы с помощью ЭВМ с выбором лучших решений по плану линии, продольному профилю, поперечным профилям пути и всем сооружениям, влияющим ка принимаемые решения.
Наибольший эффект дает решение следующих задач.
1. Представление рельефа в виде математической модели, с помощью которой трассируются линии тальвегов, общих и частных водоразделов, делается оценка категории рельефа и вычисляется косогорность, вычисляются отметки точек с известными координатами, укладывается линия с заданным планом, а также укладываются линии нулевых работ или магистральные хода.
2. Базовое и оптимальное проектирование продольного профиля на основе выбора типа и проектирования индивидуальных поперечных про-
филей, надежного определения объемов работ и строительной стоимости, тяговых расчетов с определением расходных показателей; определения э ксплуатационных расходов.
3. Использование различных методов поиска нуля и оптимума.
4. Разработка системы получения графических документов стандартного образца.
В локальной системе автоматизированного трассирования экономится труд высококвалифицированных специалистов, сокращаются затраты на материалы, повышается надежность данных. Одновременно повышается обоснованность проектных решений, снижаются потери рабочего времени и сокращается количество людей, участвующих в проектировании.
Глава 2. Основные принципы моделирования систем и процессов трассирования железной дороги.
Автоматизированное проектирование железных дорог требует специфического подхода к созданию математических моделей систем, процессов и задач.
Математическое моделирование строительных объектов имеет достоинства: небольшое время подготовки к анализу, возможность эксперимента на критических режимах вплоть до разрушения, возможность массовых вычислительных экспериментов.
В диссертации выделены три этапа математического моделирования.
Этап 1. Анализ моделируемого объекта для выделения основных слагаемых его функционирования. При этом аппроксимируются важнейшие зависимости и формируется обобщенная схема модели, ставятся задачи, обосновывается необходимость решения таких задач и выбор критерия оценки. Выдвигаются гипотезы и предположения, оценивается объем информации для решения задач, выделяются ограничения, намечаются процедуры определения средних значений, проверяется достоверность мо-
. Этап 2. Проводится структуризация модели - составляется обобщенная логическая схема, получают соотношения (алгоритмы, формулы, процедуры). Процедуры подразделяют на детерминированные и вероятностные и получают необходимые закономерности и соотношения.
После этого составляется и отлаживается программа для конкретного или группы однотипных вычислительных комплексов.
Этап 3. Выполняются рабочие расчеты на ЭВМ на основе программного обеспечения, обработка и осмысление результатов моделирования, проверяется работоспособность модели на критических режимах. После проверки математическую модель включают в САПР.
В диссертации разработана классификация математических моделей проектирования путевых сооружений железных дорог, в том числе по видам математических методов, по научной направленности, по структурам железной дороги, по проектным процессам.
В работе оценена точность расчетов по математическим моделям.
Рассматривались три типа погрешностей, возникающих при решении задачи:
- погрешность математической модели - 61 ;
- погрешность численного метода - 5-г ;
- погрешность вычислений на ЭВМ - 5з .
Погрешность математической модели образуется из- за недоучета ряда влияющих факторов или нечеткости знаний об их характере.
При трассировании железных дорог погрешности в основном возникают при определении объемов и стоимости. Погрешности формируются на стадиях выполнения полевых работ, камеральных работ и технологических процессов при строительстве.
Оценка погрешности численного метода является составной частью метода вычислений.
Оценка вычислений, как правило, получается апостериорно и зависит от округления чисел, выполнения арифметических операций с приближенными- числами.
Полная погрешность есть сумма указанных выше погрешностей.
В работе на основе рассмотрения абсолютных и относительных погрешностей изложены методы снижения вычислительных погрешностей и рекомендации для разработчиков математических моделей по составлению рациональных алгоритмов и программ.
Автором определены требования к автоматизации трассирования:
- применение быстрых и экономичных алгоритмов поиска;
- использование "безбумажной технологии" - обеспечение перехода от решения одной задачи к другой через согласованную информацию, минуя обычный промежуточный вывод на средства отображения;
- конечный.вывод в виде привычных графических материалов;
- тесное взаимодействие опытного проектировщика и ЭВМ.
В диссертации обоснована логическая эталность автоматизации трассирования, определены четыре этапа, набор задач для кавдого этапа, необходимые технические средства и программное обеспечение.
Глава 3. Геометрические математические модели.
Геометрические модели : применяются в проектировании железных дорог особенно широко.
В работе составлена классификация геометрических моделей по ряду критериев, в том числе: по числу измерений, по применяемым системам координат, по видам задания исходных данных, по классам математических методов, по отношению к проектируемому объекту.
В работе подробно рассматриваются математические модели плана линии и его приближений, модели продольного профиля, модели поперечных профилей пути и модели рельефа местности.
План трассы железнодорожной линии может быть описан нескольки-
ми плоскостными математическими моделями.
Наиболее распространены две модели:
а) рагбивочная - применяемая в различных модификациях при разбивке, восстановлении и закреплении трассы путем вычисления' и задания частных (условных.) координат точек трассы;
б) координатная - классическая модель аналитической геометрии, применяемая при нанесении трассы на карты и планы путем вычисления абсолютных (общих) координат любых точек трассы по функциональным соотношениям (особенно в вычислительных системах). '
В основе обеих моделей находится положение, что план трассы состоит из чередующихся геометрических функций: отрезков прямых, дуг окружностей и переходных кривых (радиоидальных спиралей).
В проектировании переустройства плана существующих железных дорог используется параметрический метод эвольвент моделирования существующего и проектного плана, который может быть достаточно просто приведен к координатному.
Продольный профиль трассы состоит из двух моделей в прямоугольной системе координат:
- дискретно-точечная функция земли (абсциссы и ординаты);
- проектная линия - отрезки прямых и сопрягающие кривые.
Поперечные профили земляного полотна в прямоугольной системе
координат описываются определенным сочетанием пересекающихся прямых линий, зависящих от ряда природных факторов.
Необходимо отметить, что выходные модели плана, продольного профиля трассы и поперечных профилей в определенной степени стандартизованы и ограничивают вариации. В то же время модели рельефа местности должны адекватно описывать то, что создано природой.
Для моделирования рельефа используются в качестве исходных преимущественно дискретно-точечные или дискретно-линейные цифровые
данные в прямоугольной системе координат.
Для математического моделирования можно применить ряд аналитических и численных методов, обладающих достоинствами и недостатками, как при ручном расчете, так и при реализации на ЭВМ.
В диссертации рассматриваются требования к геометрическим моделям с позиции пригодности для автоматизации трассирования.
Отмечается необходимость быстрых, устойчивых и экономных алгоритмов, требующих минимального объема машинной памяти.
Численное описание дискретно-точечных кривых и поверхностей, осуществляется интерполяцией, экстраполяцией или аппроксимацией непрерывными негладкими и гладкими функциями. Чаще всего для этой цели использовались алгебраические полиномы, полиномы Эрмита, ортогональные полиномы Чебышева, показательные и тригонометрические функции.
Установлено, что применение всех перечисленных функций обладает целым рядом серьезных недостатков:
- интерполяционные полиномы высоких степеней при больших л порождает осцилляции (на поверхностях - иглы);
- многочленная интерполяция требует много счетных операций;
- при большой размерности полинома возникают трудности решения систем линейных уравнений,'быстро накапливаются погрешности.
Построение кусочно-полиномиальных или кусочно-тригонометрических функций в общем случае приводит к разрывам производных в узлах. Поэтому появились гладкие многочленные функции однородной структуры, сопряжение которых в узлах происходит по определенным правилам. Такие функции называются сплайн-функциями или сплайнами.
В настоящей работе используются кубические сплайны для интерполяции плоских кривых и дважды кубические сплайны - для поверхностей. Преимущество;кубических сплайнов перед квадратными состоит в
наличии непрерывных первой и второй производной, что позволяет вычислять градиенты, минимумы, дифференцировать и интегрировать.
Для описания кубических сплайнов использованы следующие выражения для интервала < к < к^.
(Х'1-Х)3 (Х-Х1-1)3 Му-1?512 Хх-Х 5д(х)= А/1-1-+ -+ (у 1-1--)
6Й1 6Л1 6 1Ц
+ (У1--)—- ;
, , у1-у1-1
3(х)= - М1-1- + Л*1- +---Гц\
2/11 . 2/11 б
XI-х Х-Хг-1
= Mi-1- + М1 - ;
где М1-1 и Мх - вторые производные сплайна-в узлах;
У1-1 и У! - узловые значения интерполируемой функции;
х - текущее значение аргумента;.-
Б&(х), 5(х) и -текущие значения сплайна, его
первой и второй производных.
Задача интерполирования решается с'помощью дважды кубического
сплайна путем введения одномерных частичных кубических сплайнов.
Интерполяция, кубическими сплайнами имеет ряд ограничений:
1) локальное изменение данных ведет к пересчету сплайна;
2) простые координатные сплайны непригодны для интерполяции кривых с вертикальными касательными;
3) возможны осцилляции при интерполяции кривых, имеющих разрывы вторых производных;
. 4) кривизна поверхностей иногда изменяется неравномерно. Для устранения ограничений вводятся параметрические сплайны. Полиномиальные сплайны обладают серьезными преимуществами: 1. Лучшими аппроксимационными свойствами, что при равных ин-
формадиокных затратах дает большую точность или равную точность при менее информативных исходных данных.
2. Простотой реализации на ЭВМ алгоритмов, полученных на основе сплайнов.
3. Универсальностью, позволяющей использовать одни и те же интерполирующие конструкции для различных геометрических объектов.
Резкое уменьшение вычислительных трудностей происходит из-за того, что "задача интерполяции сводится к решению систем линейных уравнений порядка п с ленточными матрицами, для которых существуют эффективные алгоритмы.
Система линейных уравнений для нахождения коэффициентов сплайна оказывается настолько простой, что решается не за л2, как обычно, а за л операций (в одномерном случае).
Сплайны можно вычислить за конечное число шагов, дифференцировать и интегрировать, используя арифметические операции; они позволяют, выбирая соответствующим образом узлы, добиваться хорошего сглаживания функций с нерегулярными свойствами гладкости.
Глава 4. Математические модели местности и их особенности.
Местность как объект моделирования представляет собой комплекс рельефа, гидрологических, геологических, биологических и других характеристик, оказывающих влияние на ее использование.
В работе составлена классификация моделей местности по нескольким критериям, ь том числе по способам отображения, по преобладающим моделируемым характеристикам, и по использованию экономических показателей.
В работе даны требования к математическим моделям местности.
1. Модели местности должно отвечать некоторое математическое выражение, над которым можно производить обычные математические операции, в том, числе дифференцирование и интегрирование. Матема-
тическое выражение должно позволить вычислять значение моделируемого параметра в любой точке заданной области.
2. Математическая модель местности должна иметь гладкость, которая отражает особенность карт в горизонталях - плавные очертания структурных элементов. Недопустимо наличие краевого эффекта.
3. Модель должна гарантировать заданную точность.
4. Математическая модель должна быть адекватна моделируемым объектам, то-есть выбранная модель должна быть наилучшим образом согласована с основными параметрами и удовлетворительно с прочими.
Рельеф местности является наиболее изменчивой характеристикой местности, оказывающей решающее влияние на основные технические параметры, другие параметры, стоимость строительства и эксплуатационные расходы. Поэтому моделирование рельефа является важнейшей частью изысканий и проектирования железных дорог.
Основой любой другой модели рельефа является цифровая модель, то-есть упорядоченные массивы чисел, характеризующие пространственные координаты точек земли на рассматриваемом участке.
Цифровые модели местности отличаются друг от. друга способами упорядочения множества точек, в первую очередь путем установления определенной закономерности задания плановых координат точки.
Цифровая модель рельефа в чистом виде представляет собой набор точек в пространстве. И только, когда трассируемая линия проходит непосредственно через точку цифровой модели, она получает отметку, в любом другом случае наблюдается неопределенность.
Цифровые модели подразделяются на линеаризованные, сеточные и нерегулярные.
Линеаризованные цифровые модели представляют собой набор плоских линий, описанных функциями. На линиях располагаются . в определенной последовательности точки с отметками. Примером линеаризован-
ной цифровой модели является картезианская система (США), представляющая собой ломаную линию полосе варьирования. Точки деления разбивают ее на интервалы. В этих точках оси проводятся нормали, на которых также в определенном порядке наносятся точки. В каждой точке оси и нормалей устанавливаются аппликаты. В таких цифровых моделях любая точка модели характеризуется номером точки деления координатной оси, стороной расположения точки по отношению к оси, расстоянием от оси до точки и аппликатой. В качестве координатной оси может выступать и любая кривая.
Сеточные цифровые модели предусматривают алгоритм получения упорядоченной сети точек в системе плановых координат (прямоугольной, косоугольной, полярной) независимо от расположения трассы.
Нерегулярные цифровые модели представляют собой набор точек с тремя координатами, расположение которых хаотично.
Для того, чтобы получать при проектировании отметку точки с любыми плановыми координатами в заданной области, необходим алгоритм интерполяции, включающий в себя ограничения. Такой алгоритм и есть переход от цифровой модели рельефа к математической.
На -основании цифровых моделей формировались математические модели, представляющие собой сети плоских треугольников и многоугольников, наборы профилей по нормалям к исходной ломаной линии и др. Все эти модели предполагают выбор и использование в первую очередь., точек минимумов, максимумов и характерных линий рельефа. Подготовка цифровых моделей для указанных целей требует глубокого анализа местности и высокой квалификации исполнителя. В то же время линейная интерполяция' в пределах плоских геометрических фигур ведет к погрешности в определении отметок.
Для непрерывной и гладкой интерполяции применялись различные нелинейные функции и сочетания функций: полиномы высоких степеней,
ортогональные полиномы, полиномы Эрмига и экспоненциальные функции, обладающие недостатками, отмеченными в главе 3.
Наиболее успешно задача моделирования рельефа решается с помощью методов теории сплайн-функций.
Автором предлагается математическая модель рельефа в виде дважды кубического сплайна на базе цифровой модели в виде сетки квадратов, являющейся наиболее простой и легкой в подготовке и несущей максимальный объем информации.
Предлагаемая модель формируется на основе цифровой модели в виде регулярной сетки точек, полученных путем обработки имеющегося плана или карты в горизонталях. Отметки точек сетки не изменяются.
Вычисляются параметры частных плоских кубических сплайн-функций для каждого горизонтального ряда сетки. Для вычисления отметки конкретной точки с координатами х и у определяются отметки точек с абсциссой к на каждом горизонтальном ряду, вычисляются параметры плоского кубического сплайна для данной вертикали и затем по этому сплайну определяется отметка точки с ординатой у.
Анализ алгоритма определения отметок точек с заданными абсциссами и ординатами по дважды кубическому сплайну и его программной реализации указывает на хорошую приспособленность для вычислений на ЭВМ и быстрой работе. Это особенно важно для диалоговой системы проектирования. При этом отмечаются следующие особенности.
1. Сплайновой математической моделью при соответствующем сгущении сетки цифровой модели можно надежно описывать не только пла-" вные, но и ломаные формы рельефа - обрывы, овраги, скальные откосы, насыпи, выемки и др., а также местные сложные формы.
В то же время при сохранении общего шага сетки при пересечении трассой характерных линий рельефа или границ ломаных форм можно в диалоговой форме вводить в ЭВМ с клавиатуры снятые вручную с кар-
ты-'или плана координаты точек пересечения и их отметки.
2. Увеличение размерности сетки цифровой модели замедляет вычисление отметок. В работе доказано, что минимальная размерность сеточной матрицы по условиям точности составляет 6x6 элементов. При этом нет искажений в вычислении параметров частных сплайнов из-за влияния- краевых условий. Максимальная размерность матрицы определяется быстродействием ЭВМ. Из-за значительного замедления счета нежелательно при быстродействии ЭВМ до 5 млн оп/сек иметь размерность больше чем^75x75 элементов или соответствующей прямоугольной матрицы. Для ускорения счета рекомендуется применять прямоугольные матрицы с увеличенной горизонтальной составляющей.
Для описания больших площадей предложены модельный и вычислительный способы дробления сплайновых моделей и последующей их "оклейки".
При модельном пути дробления сплайновой модели используются стационарный и "бегущий" сплайны.
Стационарные сплайны описывают целиком всю цифровую модель рельефа в полосе варьирования, причем глобальный сплайн описывает весь массив цифровой модели, а кусочный состоит из ряда частных сплайнов, граничащих друг с другом с перекрытием или без него.
"Бегущий" сплайн представляет собой частный сплайн ограниченного размера, периодически перемещающийся по полосе варьирования по мере укладки трассы.
Для перехода от одного шага сегки к другому в диссертации разработаны режимы заблаговременного и задержанного перехода.
При вычислительном пути дробления сплайновой модели используются различные пути сокращения объема вычислений. •
Точность'описания рельефа для целей проектирования определяется масштабом карт или планов и стадией проектирования. Нормиро-
ванная ошибка в определении отметок по карте или плану составляет 0,2 сечения горизонталей, что может служить критерием точности.
Опенка точности отображения рельефа сплайновой математической моделью осуществляется исходя из следующих соображений.'
1. Максимальное расхождение между отметками, вычисленными по сплайновой модели и вычисленными по карте, не должно превышать удвоенной нормированной ошибки для данного типа карт.
В диалоговых автоматизированных системах трассирования в исключительных случаях может быть допущено фактическое отклонение, превышающее норму в характерных точках рельефа. В этом случае в диалоге при трассировании можно вводить отметки непосредственно с клавиатуры.
2. Среднее квадратическое отклонение множества отметок точек, вычисленных по сплайну, от отметок, определенных по карте, не должно превышать нормированной ошибки.
Точки, в которых проверяется адекватность сплайновой модели, предварительно назначаются или путем случайной выборки, или путем последовательного сгущения сетки.
Путь последовательного сгущения сети показал преимущества как по экономичности расчетов, так и по четкости организации эксперимента.
Сплайновая математическая модель местности позволяет быстро оценивать сложность рельефа в целом по району трассирования и по отдельным участкам. Для этого вычисляется среднее арифметическое максимальных градиентов в узловых точках сеточной матрицы модели.
Применение сплайновой математической модели дает возможность в автоматизированном режиме находить и классифицировать формы рель-
Условия адекватности модели
Категория рельефа местности Размеры шага сетки в м для
карт масштаба планов масштаба
1:50000 1:25000 1:10000 1:5000 1:2000
Равнинный 250 200 150 100 60
Холмистый 180 130 80 50 ' 35
Пересеченный 110 75 . 50 35 22
Предгорный 70 50 35 25 15
ефа, играющие важнейшую роль в выборе направления и местонахождения трассы. При этом с высокой точностью находятся не только вершины, впадины, седла и глобальные водоразделы, но и частные водоразделы, тальвеги; оконтуриваются бассейны.
Поиск характерных точек и характерных линий рельефа выполняется на основании определения зон экстремумов и направлений максимальных углов наклона.
В сплайновой функции двух переменных тангенс максимального угла наклона в точке будет определяться векторной суммой частных производных.
Отметка любой точки местности, находящейся на горизонтальной линии сетки с номером к, определяется по формуле 5к=огк.1-1(*1 - х)3 + йк41(х - + свгк. 1-1 - як. 1-1Ь2)х
Х(Х1 - х) + (бгк. 1- - х^г)),
где й - шаг сетки (равномерный);
1 - номер узла сетки;
Як.1 - момент сплайновой модели в узле с номером 3 на горизонтальной линии с номером к;
XI ~ абсцисса узла сетки с номером 1;
гц.1 - отметка в узле сетки с номером 3 на линии с
номером к.
Отсюда частная производная по х
1 „ 0 - = -((Як, 1ОП - Х)г - Г?к.1-1(.Х - Х1-1)л)3 +
+ бсгк. 1- гк. 1-1) + (/гк.!-1- Як. ОЬ2). 35к
С другой стороны - будет представлять собой пооекцию
градиента функции двух переменных на ось х.
Аналогично вычисляются - на вертикальной линии с номером 3,
только в предыдущей формуле меняются обозначения и индексы ЭГ1 1 „
--((ек.1(у1- уг - ек-1.1(у - У1-1)А)3 +
+ б(2к. 1- гк-1.1) + (бк-а.!- Ок. оь2), где к - номер узла сегки;
1 - момент сплайновой модели в узле с номером к на вертикальной линии с номером 1; ук - ордината узла сетки с номером к; 2к. 1 - отметка в узле сетки с номером к на линии с номером 1.
Частная производная переменной Г по у является проекцией градиента функции двух переменных на ось у.
Значение градиента или модуля тангенса угла наклона определя-. ется по формуле
/дБ 9 дТ Г~ .
дгай г = У( —) + (-)2
в каждом узле. Категория сложности рельефа определится по среднему арифметическому градиенту для всех узлов. Методика вычисления градиентов и проекций градиентов используется и для поиска экстремальных точек и характерных линий рельефа. Очевидно, что градиент будет равен нулю в точках максимума и минимума. Знаки проекций градиента
определяют направление спуска или подъема. При приближении к экстремуму значение градиента обычно уменьшается.
Для поиска точек экстремума и характерных линий рельефа предлагается использовать горизонтальные и вертикальные ряды сетки, на которых анализируются частные производные по осям координат. Теперь зона поиска сужается, так как минимум на ряде возможен только при переходе на интервале между узлами от отрицательной первой производной к положительной, а максимум - при переходе от положительной к отрицательной. Для получения координаты максимума или минимума нужно приравнять первую частную производную нулю и решить соответствующее квадратное уравнение.
Например, - = О.
3(Rk. i" Rk. i-l)*2 + 6tfi-i/?k.i-i- )X + 3(йк. XZ~ - Rk.-l*-l) +6 (Zk. i - Zk.i-i) + (Kk.i-1- /?k,i)2 = 0 Выразим коэффициенты:
xi-iRk.i-i - XiRk. i p ----
Rk. i - Rk. i-1
3(Rk. iXi2- Rk.i-iXi-12) + 6(Zk.i+ Zk,i-i) + (i?k. i-i-i?k.i)h2
g = ---
3№k. i- Rk.i-1)
Тогда х = р±кр2-д Аналогично экстремум может быть найден и по оси у. В пространственном аспекте точка глобального или локального экстремума может быть найдена после оконтуривания квадрата, в котором возможна впадина, вершина или седло.
Д диссертации разработан и другой способ автоматизированного трассирования характерных линий рельефа, основанный на итерационном нахождении линий наискорейшего спуска по сплайновой модели с использованием регуляриэованных методов поиска корней нелинейного
уравнения.
Глава, 5. Методы трассирования железной дороги с использованием математических моделей.
Применение современных ЭВМ открывает возможность формализации процесса укладки трассы с использованием математических моделей местности и расчетных методов и приемов.
Анализ проведенных ранее исследований в области трассирования железных дорог с помощью ЭВМ показал, что наряду с определенными достижениями многие вопросы все еще не решены, в том числе вопросы разработки методов трассирования по достаточно точной математической модели местности, быстрых алгоритмов оптимизации продольного профиля, аппроксимации магистральных ходов, расчета критерия и другое.
Основные требования к параметрам математических моделей трассирования можно сформулировать следующим.образом.
1. Обеспечение вычислительного способа нахождения отметки точки с заданными плановыми координатами и расстояний между последовательно вычисляемыми или намечаемыми точками.
2. Вычислительный способ прокладки линий заданного уклона, в том числе линий нулевых работ, линий равных рабочих отметок.
3. Функциональное описание дискретно-точечного плана линии.
4. Проектирование продольного профиля при заданном плане.
5. Ускоренные расчеты критерия.
6. Оптимизация продольного профиля, быстрыми методами.
7. Упрощенный выбор направления магистрального хода.
3. Реатизация на ЭВМ стандартных графических моделей.
9. Обеспечение диалогового режима трассирования.
В работе уделено серьезное внимание ограничениям проектирования. Ограничения подразделены на технические ограничения, ограни-
чения окружающей среды, а также объемные и экономические ограничения.
Методы трассирования подразделяются по видам кодов: трассирование на напряженных ходах и трассирование на вольных ходах.
Базой трассы на напряженном ходу является линия нулевых работ.
В диссертации предложены два метода построения такой линии.
- по математической модели рельефа в виде горизонталей.
- по онлайновой математической модели рельефа.
Математическая модель рельефа в виде горизонталей предполагает описание горизонталей кусочно-линейной функцией или кубическим сплайном., ,
Вводится понятие шага трассирования - 1М - отрезка линии нулевых работ, соединяющего горизонтали, при руководящем уклоне -1р. радиусе круговой кривой - /? и сечении горизонталей - Л.
В отличие от "ручного" метода построения линии нулевых работ шаг трассирования в предлагаемом методе является величиной переменной и выражается уравнением с двумя неизвестными, поскольку величина угла между отрезками линии нулевых работ также пока неизвестна.
Зависимость между др, ]м и Ь можно выразить формулой
/) + 1,452П0С/2
1М --юоо .
Координаты конца шага трассирования (назовем его шагом-вектором) хм и ум целесообразно подбирать по следующему алгоритму:
- первоначально устанавливаем а равным нулю-,
- вычисляем ]м и координаты конца шага-вектора хм и ум*,
- вычисляем ординату точки горизонтали при хм;
- вычислим угол направления на эту точку;
- проверяем соответствие углов.
- вычисляем значение шага-вектора.
Итерация выполняется до тех пор , пока разность между двумя значениями шага-вектора не станет меньше ер5 - точности расчета.
После этого линия нулевых работ строится дальше, пока не будет достигнута речная долина. Построение линии нулевых работ может быть закончено досрочно, если закончится напряженный ход.
При автоматизированном трассировании по сплайновой математической модели местности шаг-вектор постоянен. Модель позволяет укладывать линию нулевых работ по единому алгоритму, при котором длина линии - практически равна длине трассы. Предварительно следует выбрать такой шаг-вектор, при котором линейная погрешность замены кривой вписанным многоугольником становится меньше допустимой. В исследовании вычислены максимальные длины шага-вектора из условия:
ос а - г1л«/2 1 1 1Ш= 21л-!? при -< - (-).
2 ос 1000 2000 '
Результаты расчетов максимальной длины шага-вектора при наиболее ходовых радиусах помещены в таблице 2.
Максимальные длины шага-вектора
Табл. 2
1? 4000 3000 2500 2000 1800 1500 1200 1000 800 700
ош. 0,001 619 464 387 309 278 232 185 156 123 108
ош. 0.0005 439 329 274 219 197 164 154 109 87 70
600 500 400 350 300 250 200 180 150 100
92 77 .52 54 46 38 30 27 23 15
60 54 .43 32 30 27 21 19 16 10
При заданной длине шага-вектора укладка линии нулевых работ сводится к выбору направления шага-вектора и проектной отметки в конце его. Решается уравнение с двумя неизвестными б1п&/2 и /н. СЬ1 1,4Б2лсс/2)/0,71р.
Б данном случае ^ является приращением проектной отметки относительно отметки начала шага-вектора 2о. Алгоритм подбора координат точки начала шага-вектора основан на последовательном назначений угла поворота линии нулевых работ и вычислении проектной отметки, а также на сравнении с отметкой сплайновой модели рельефа.
Для решения задачи необходимо вращать шаг-вектор вокруг начальной точки. Направление вращения определяется знаком разности между проектной отметкой и отметкой земли, т.е. рабочей отметки.
При положительной рабочей отметке иаг-вектор нужно вращать вверх по склону, при отрицательной - вниз по склону.
Последовательное увеличение угла поворота должно осуществляться таким образом, чтобы не превысить предельные углы поворота для конкретных радиусов при фиксированном шаге-векторе. В ряде случаев эти углы поворота сразу получатся предельными.
Если длина шага-вектора назначается по таблице 2, предельный угол поворота стандартный и составляет 8,9° для верхнего значения точности расчета. В других случаях предельный угол ап вычисляется по формуле
ап = 2агсв1п1ш/2Р,
где 1Ш - длина шага-вектора, Й - радиус круговой кривой.
Поэтому принцип укладки магистрального хода и линии работ можно сформулировать следующим образом:
- по первичному направлению (или по налравлению на точку; укладывается шаг-вектор;
- вычисляется проектная отметка конца шага-вектора;
- по сплайновой модели определяется отметка земли.
Если эти'отметки не совпадают, возможны два случая.
нулевых конечную
1 случай. Шаг-вектор достигает предельного угла поворота. В этом случае поворот завершается, за исходное выбирается положение, соответствующее предельному углу поворота. Далее процедура продолжается уже описанным образом.
2 случай. Шаг-вектор пересекает поверхность земли. Точка пересечения в этом случае находится методами поиска нуля. В диссертации выполнено сравнение ряда способов поиска нуля нелинейной функции, в том числе дихотомии, секущих и др. Наиболее эффективен регуляризо-ванный алгоритм с параболической аппроксимацией. .
На вольных или комбинированных ходах необходимо рассматривать определенную исходную трассу или магистральный ход, который впоследствии можно улучшать, аппроксимировать с помощью ЭВМ.
Реальная трасса имеет длину Loi, где А - коэффициент развития, Lq - длина геодезической линии. В зависимости от рельефа, величины руководящего уклона, категории линии и некоторых других факторов коэффициент развития может изменяться от 1,05 до 1,35.
При коэффициенте развития, постоянном по длине, трассу можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией из условия равенства суммы отрезков ломаной и длины грассы.
Для базовой трехзвенной модели трассы, состоящей из равных отрезков LoV3, в качестве первого приближения принимаются 12 дискретных траекторий симметричного и кососимметричного расположения, вписанных в эллипс варьирования. В диссертации определены правила формирования траекторий, расчета углов, определения координат любых точек. Для этого по траекториям снимается профиль по земле, задается исходный проектный профиль, основные параметры, выполняется оптимизация и фиксируется значение критерия. Наилучшая траектория принимается за основу последующего деления сетки. Если наилучшая траектория находится на краю зоны варьирования, то, возможно, или
принят недостаточно большой коэффициент развития, или использован заниженный руководящий уклон. Если же наилучшая траектория является- кососимметричной или приближается к геодезической линии, она вполне может быть основой для последующей оптимизации. В этом случае между ближайшими к ней траекториями образуется так называемый "коридор трассирования". В этом коридоре проводится "пристрелка", т.е.осуществляется дополнительный поиск по трехзвенной модели для сужения коридора. Для выявления направления последующей оптимизации (при сгущении сети) следует выполнять возмущения магистрального хода. В углах трехзвенной модели выполняются небольшие сдвижки внутрь угла (по биссектрисе) и проводятся окружности с радиусом с центрами в точках А, В, и сдвинутых вершинах. В точках А и В проводятся радиусы малых окружностей с поворотом в сто
